03AGG - CALCOLO DELLE PROBABILITA`
Matematica per le Scienze dell'Ingegneria

Docente del corso: Le lezioni sono tenute da Barbara Trivellato e Franco Pellerey.

Avvisi:

Programma del corso:

• Introduzione al calcolo delle probabilità: algebre e sigma-algebre, funzioni additive e sigma-additive, definizione di probabilità e sue proprietà, continuità della probabilità, sigma-algebra di Borel, spazi di probabilità finiti, elementi di calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni, combinazioni), probabilità condizionata, formula della probabilità totale, formula di Bayes, formula del prodotto, indipendenza di eventi. Variabili aleatorie: definizione, legge, funzione di ripartizione, indipendenza. Variabili aleatorie reali discrete: densità, funzione di ripartizione, indipendenza, operazioni principali, valore atteso e varianza e relative proprietà, media del prodotto di variabili aleatorie indipendenti, varianza della somma di variabili aleatorie indipendenti. Esempi di variabili aleatorie discrete con calcolo di media e varianza: binomiale, geometrica, di Pascal, ipergeometrica, di Poisson. Legge degli eventi rari. Funzione generatrice delle probabilità. Somma di binomiali, di Poisson, di geometriche indipendenti.
• Elementi di teoria della misura e dell'integrazione: misure (positive finite) e costruzioni di misure, funzioni misurabili, integrale delle funzioni semplici, integrale delle funzioni misurabili positive, funzioni e insiemi trascurabili, funzioni integrabili e integrale, teoremi di convergenza, integrale di Riemann e di Lebesgue, misura immagine, misura definita da una densità, le misure di probabilità sulla retta reale, misura prodotto, teorema di Fubini, le misure di probabilità su R^n.
• Variabili aleatorie. Teoria generale: variabili aleatorie con legge discreta e assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue, funzione di ripartizione e proprietà, valore medio e momenti, varianza e proprietà, disuguaglianza di Chebyshev. Funzione generatrice dei momenti. Esempi di variabili aleatorie reali assolutamente continue con calcolo di media e varianza: uniforme, esponenziale, gamma, beta, normale, chi-quadro, Weibull. Variabili aleatorie vettoriali. Momenti delle variabili aleatorie vettoriali. Covarianza e coefficiente di correlazione. Indipendenza delle variabili aleatorie. Dipendenza delle variabili aleatorie: densità condizionata. Funzioni di variabili aleatorie a valori in R^n, convoluzione.
• Convergenza delle variabili aleatorie: definizione di convergenza quasi certa e in probabilità, legge dei grandi numeri.
• Laboratorio: uso del software statistico R nel calcolo delle probabilità, grafica delle distribuzioni, verifica sperimentale della legge degli eventi rari e della legge dei grandi numeri.

Testi consigliati:

• Calcolo delle probabilità. Terza edizione. Giorgio Dall'Aglio, Zanichelli - Bologna (2003).
• Probability essentials. Jean Jacod and Philip Protter, Springer (1991).
• Primo semestre di probabilità. Soluzioni di esercizi. Paola Siri, CLUT - Torino (1996).
• Materiale didattico fornito dal docente (disponibile sul portale della didattica).

Modalità d'esame: prova scritta e prova orale.